DIVISIBILIDAD

Múltiplos de un número

Actividades de repaso:

1. Los múltiplos de un número
2. Múltiplos de un número I
3. Propiedades de los múltiplos.

Divisores de un número

Actividades de repaso:

1. Divisores de un número I. 
2. Divisores de un número II.
3. Divisores de un número III.
4. Cálculo de divisores I.
5. Cálculo de divisores II.
6. Cálculo de divisores con la regleta de Cuisenaire.

Números primos y números compuestos.

Un número primo se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo.

Un número compuesto se puede dividir exactamente entre otros números además de 1 y él mismo.

(Así que cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto)

Ejemplos

Número	Se puede dividir exactamente entre	¿Primo o compuesto?
1	(1 no es primo ni compuesto)
2	1,2	Primo
3	1,3	Primo
4	1,2,4	Compuesto
5	1,5	Primo
6	1,2,3,6	Compuesto
7	1,7	Primo
8	1,2,4,8	Compuesto
9	1,3,9	Compuesto
10	1,2,5,10	Compuesto

 Actividades de repaso:

1. Números primos y compuestos.

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo:

24, 238, 1 024, ...

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplo:

564  5 + 6 + 4 = 15 15 es múltiplo de 3

2 040 2 + 0 + 4 + 0 = 6  6 es múltiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Ejemplo:

               45, 515, 7 525, 230, ...

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Ejemplo:

81 8 + 1 = 9

3 663 3 + 6 + 6 + 3 = 18  18 es múltiplo de 9  

Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

Ejemplo: 

130, 1 440, 10 230, ...

   Actividades de repaso:

1. Criterios de divisibilidad I.
2. Criterios de divisibilidad II.
3. Criterios de divisibilidad III.
4. Reglas de divisibilidad.
5. Afianzamos lo aprendido.

Mínimo común múltiplo

¿Qué es un "múltiplo común"?

Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...

Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...

¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)

¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes distinto de cero.
En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Calcular el mínimo común múltiplo

En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.

Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:

Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15

Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.

Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, .... Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)

Pista: puedes hacer listas más pequeñas de los números más grandes.

Actividades de repaso:

1. Mínimo común múltiplo.
2. Múltiplos de un número. Mínimo común múltiplo.
3. Mínimo común múltiplo de dos números.
4. Mínimo común múltiplo de varios números.
5. Aplicaciones del m.c.m. a la vida real.

Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.

• Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20 :  1, 2, 4, 5, 10 y 20

  10 :  1, 2, 4, 5 y 10        

M.C.D. (20 y 10) =  10

Actividades de repaso:

• Actividad 1.
• Actividad 2.
• Actividad 3.
• Actividad 4.

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son aquellos que no tienen decimales.

• Pueden ser positivos: 1, 2, 3....
• Puede ser 0
• O pueden ser negativos: -1, -2, -3...

Delante de los números positivos normalmente no se coloca ningún signo (aunque se podría poner el signo " + "), mientras que delante de los signos negativos siempre se coloca el signo " - ".

Actividades de repaso:

1. Números enteros.
2. El ascensor y los números enteros.
3. Las altitudes y los números enteros.
4. El termómetro y los números enteros.
5. Aplicaciones de números enteros en la vida cotidiana.

Representación de números enteros en la recta numérica. 

Para representar los números enteros se siguen los siguientes pasos:

 1.- Se traza una línea recta, sobre la cual se ubica en un punto el cero (0) y se escoge la medida de un segmento que se toma como medida.

 2.- Hacia la derecha del cero se van poniendo a la misma distancia cada uno de los enteros positivos comenzando por 1.

3.- Hacia la izquierda del cero se van poniendo a la misma distancia cada uno delos enteros negativos comenzando por -1. 

Estos quedaran representados gráficamente de esta forma:

     Actividades de repaso:

1. La recta entera.
2. Representación de enteros en la recta numérica.

                                                                

Los números opuestos.

     El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado:

El opuesto de -3 es 3 

El opuesto de 5 es -5

    Todos los números enteros (menos el cero), los fraccionarios y los decimales tienen su opuesto.

            El opuesto de 3/7  es  - 3/7

            El opuesto de -1,7  es   +1,7 


 Actividades de repaso:

1. Opuesto de un número.

• Comparación y ordenación de números enteros.

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

- 4 <  -1  <  +2

 Actividades de repaso:

1. Comparación de números enteros.
2. Comparación y ordenación de números enteros.
3. Representación y comparación.

Adición de números enteros.

      Vamos a distinguir tres casos:

             a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo:

3 + 4 + 8 = 15 

 b) Si todos los números son negativos se      suman y el resultado es negativo:

               (-3) + (-4) + (-8) = -15

               c) Si se suman números positivos y negativos, se pone el signo del mayor valor absoluto y se restan.

5 + (-7) = -2

Valor absoluto quiere decir...

... simplemente qué distancia hay de un número a cero:

"6" está a 6 de cero, y "-6" también está a 6 de cero. Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 también es 6

Más ejemplos:

• El valor absoluto de -9 es 9
• El valor absoluto de 3 es 3
• El valor absoluto de -156 es 156

 Actividades de repaso:

1. Actividad 1.
2. Actividad 2.
3. Suma de números de igual signo.
4. Suma de números de distinto signo.
5. Suma de números enteros.
6. Resta de números enteros.
7. Operaciones con números enteros.
8. Valor absoluto de un número.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas se pueden usar 
para decir dónde estás exactamente en un mapa o gráfico.

Con las coordenadas cartesianas señalas un punto en un gráfico 

dando la distancia de lado y hacia arriba:

El punto (12,5) está 12 unidades a la derecha y 5 arriba.

Ejes X e Y

La dirección izquierda-derecha (horizontal) se suele llamar X... ... y arriba-abajo (vertical) se suele llamar Y. Las líneas de referencia (desde donde se miden distancias) se llaman ejes. Hay un eje X y un eje Y. El eje X lo llamamos eje de ABSCISAS. El eje Y lo llamamos eje de ORDENADAS.
	El eje X pasa por cero horizontalmente El eje Y pasa por cero verticalmente

Direcciones

	Cuando x (la primera coordenada) aumenta, el punto se mueve a la derecha. (Si disminuye, el punto va a la izquierda.)
	Cuando y (la segunda coordenada) aumenta, el punto se mueve arriba. (Si disminuye, el punto va abajo.)

Escribir coordenadas

Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: la dirección horizontal primero, después la vertical. Esto se llama un "par ordenado".
Y normalmente los números se separan con una coma, y se rodean con paréntesis así: (3,2).

Ejemplo: (4,9) significa 4 unidades a la derecha y 9 arriba.

Ejemplo: (0,5) significa 0 unidades a la derecha y 5 arriba. En otras palabras, sólo 5 unidades arriba.

Se llaman cartesianas porque las ideó el matemático y filósofo René Descartes a quien también se llamaba Cartesio. Es famoso por la frase "Pienso, luego existo".

Cuadrantes

¿Qué pasa cuando x o y es negativo? ¡Pues que empezamos en cero y vamos en la dirección contraria!
Esto significa que es posible tener combinaciones como x positivo e y negativo, o los dos negativos. De hecho hay cuatro combinaciones, y en un gráfico se llaman cuadrantes:

X (horizontal)	Y (vertical)	Ejemplo	Cuadrante
Positivo	Positivo	(3,2)	I
Negativo	Positivo	(-4,3)	II
Negativo	Negativo	(-2,-1)	III
Positivo	Negativo	(2,-3)	IV

La palabra cuadrante viene de cuad que significa cuatro. Por ejemplo, cuatro bebés que nacen a la vez se llaman cuatrillizos, y un animal de cuatro patas se llama cuadrúpedo).

Aquí tienes los cuatro cuadrantes en un gráfico:

Ejemplo: el punto "A" (3, 2) está 3 unidades a la derecha y 2 arriba. Como x e y son positivos, el punto está en el "cuadrante I".

Ejemplo: el punto "C" (-2,-1) está 2 unidades horizontalmente en dirección negativa,
y 1 abajo (también dirección negativa). Como x e y son los dos negativos, el punto está en el "cuadrante III".

El origen

El punto (0,0) tiene el nombre especial de "el origen", y a veces se le llama con la letra "O".


 Actividades de repaso de coordenadas cartesianas:

1. Trazados de puntos en un cuadrante.
2. Coordenadas cartesianas.
3. Dos coordenadas y un solo punto.

POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

  POTENCIAS

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁵

Los elementos que constituyen una potencia son:

• La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6.
• El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 5.

La potencia se lee "base elevado al exponente". 

Los 3 ejemplos anteriores se leen:

2 elevado a 5 

3 elevado a 4 

5 elevado a 6

NOTA:

 Un número elevado a 0 es igual a 1

                    5⁰ = 1

Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

                    5¹ = 5 

Actividades de repaso:

1. Potencias I.
2. Potencias II.
3. Calculando potencias.
4. Potencia de un número natural I.

POTENCIAS DE BASE 10.

Se trata de números compuestos por la unidad seguida de ceros.

Cuando no aparece ningún exponente, en realidad, lleva un 1.

 es lo mismo que 

Cuando la base 10 lleva un exponente cualquiera, escribes el 1 y por detrás tantos ceros como te indica el exponente:

Ejemplo:

Actividades de repaso:

1. Potencias de base 10. (I)
2. Potencias de base 10. (II)

EXPRESIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO.

Actividades de repaso:

1. Expresión polinómica.

RAÍZ CUADRADA.

La raíz cuadrada viene a ser la operación contraría a elevar un número al cuadrado.

Si elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por si mismo, calcular la raíz cuadrada de un número A es hallar aquel otro número B que al elevarlo al cuadrado da como resultado el primer número A. 

Todo esto quedará más claro con un ejemplo:

Si elevamos 7 al cuadrado:
72 = 7 x 7 = 49

La raíz cuadrada de 49 es aquel número que al multiplicarlo por si mismo da como resultado 49, y ese número es 7.
 √ 49 = 7

Como se puede ver en el ejemplo, el símbolo que representa la raíz cuadrada es parecido a la "V" y se pone delante del número.

Actividades de repaso:

1. Raíz cuadrada.
2. Raíz cuadrada. (Calculadora)

RAÍZ CUADRADA APROXIMADA.

Hay raíces cuadradas cuyo resultado no es exacto. En esos casos, daremos el

resultado de forma aproximada:

              √ 12 = ?

Calculamos los cuadrados de los números naturales para encontrar el que, al

elevarse al cuadrado, da 12.

           1² = 1 x 1 = 1

           2² = 2 x 2 = 4

           3² = 3 x 3 = 9

           4² = 4 x 4 = 16

3 no es la raíz cuadrada de 12 porque 3² es menor que 12:

                         3 < 12

4 no es la raíz cuadrada de 12 porque 4² es mayor que 12:

                        12 < 4

La raíz cuadrada de 12 es un número decimal que está entre 3 y 4:

                                           3 < √12 < 4

Ejemplos:

6 < √41 < 7                                   7 < √55 < 8                                  6 < √38 < 7

8 <√ 71 < 9                                   9 < √97 < 10                              12 < √150 < 13