FRACCIONES. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Fracciones

La fracción se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales.

Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente fracción:

Los términos de la fracción se denominan: numerador y denominador.

¿Cómo se leen las fracciones? Se leen en función de cuál es su denominador:

1 / 2: un medio
1 / 3: un tercio
1 / 4: un cuarto
1 / 5: un quinto
1 / 6: un sexto
1 / 7: un séptimo
1 / 8: un octavo
1 / 9: un noveno
1 / 10: un décimo
1 / 11: un onceavo
1 / 12: un doceavo
1 / 13: un treceavo

Veamos algunos ejemplos:

Actividades de repaso:

• Fracciones.
• Representación de fracciones.
• Representación gráfica de fracciones.

Fracciones de un número

Actividades de repaso:

• Fracción de un número.

Fracción como división

Una fracción es también una forma de indicar una división en la que el numerador en el dividendo y el denominador en el divisor.

Por ejemplo

 Un grupo de 4 amigos se reúnen a comer. 

Tienen 3 pizzas y las reparten en partes iguales. 

¿Qué fracción de pizza le corresponde a cada uno?

Como la división 3 : 4 no es exacta, debemos hacer lo siguiente:

1° Dividiremos cada pizza en 4 partes iguales, es decir en cuartos.

2° Luego se reparten los 12 pedazos entre los 4 amigos

12 cuartos : 4 =  3 cuartos para cada uno  

Suma y resta de fracciones de igual denominador.

En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.

a) Veamos un ejemplo:

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

b) Veamos otro ejemplo:

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

Actividades de repaso:

• Suma y resta de fracciones I.
• Suma y resta de fracciones II.
• Suma de fracciones.
• Resta de fracciones.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos de un número

Actividades de repaso:

• Los múltiplos de un número.
• Múltiplos de un número I.
• Múltiplos de un número II.

Divisores de un número

NOTA: Para calcular los divisores de un número dividimos dicho número entre los números naturales menores o iguales que él. Si la división es exacta, el número es divisible entre ese número natural.

Actividades de repaso:

• Cálculo de los divisores.
• Divisores de un número I.
• Divisores de un número II.
• Divisores de un número III.
• Cálculo de divisores.

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo:   24, 238, 1 024, ...

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplo:

564  5 + 6 + 4 = 15 15 es múltiplo de 3

2 040 2 + 0 + 4 + 0 = 6  6 es múltiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Ejemplo:  45, 515, 7 525, 230, ...

Actividades de repaso:

• Criterio de divisibilidad I.
• Criterio de divisibilidad II.
• Criterios de divisibilidad III.
• Divisibilidad.

Cálculo de todos los divisores de un número

Actividades de repaso:

• Cálculo de todos los divisores de un número.

Números primos y compuestos

Un número primo se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo.

Un número compuesto se puede dividir exactamente entre otros números                    además de 1 y él mismo.

(Así que cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto)

EJEMPLOS

Número	Se puede dividir exactamente entre	¿Primo o compuesto?
1	(1 no es primo ni compuesto)
2	1,2	Primo
3	1,3	Primo
4	1,2,4	Compuesto
5	1,5	Primo
6	1,2,3,6	Compuesto
7	1,7	Primo
8	1,2,4,8	Compuesto
9	1,3,9	Compuesto
10	1,2,5,10	Compuesto

Actividades de repaso:

• Números primos y compuestos I.
• Números primos y compuestos II.

Divisiones de números naturales

La división

Los términos de la división son: dividendo, divisor, cociente y resto.

Dividendo	4	7	9	Divisor
Resto		2	5	Cociente

• La división exacta

La división exacta tiene el resto igual a cero. Los términos de la división exacta son: dividendo, divisor y cociente.

En una división exacta, el dividendo es igual al divisor por el cociente. D = d x c. Esta es la prueba de la división.

En una división exacta se cumplen estas tres equivalencias:

D : d = c D : c = d D = d x c

• La división inexacta

La división inexactao entera tiene el resto distinto de cero. Los términos de una división entera son: dividendo, divisor, cociente y resto..

En una división inexacta, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. 

D = d x c + r. Esta es la prueba de la división

El resto nunca puede ser mayor que el divisor.

DIVISIONES CON DIVISOR DE DOS CIFRAS

    Actividades de repaso:

• Aprende a dividir.
• Divisor de dos cifras I.
• Divisor de dos cifras II.

DIVISIONES CON DIVISOR DE TRES CIFRAS

   Actividades de repaso:

• Divisor de tres cifras I.
• Divisor de tres cifras II.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN

Espero que este esquema os aclare un poco más lo visto en clase.

  Actividades de repaso:

• Propiedad fundamental de la división.
• Problemas.

Suma, resta y multiplicación de números naturales

MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS DE VARIAS CIFRAS.

Para poder multiplicar primero hay que saberse bien las tablas.

Aquí os dejo un vídeo para que aprendáis a multiplicar con las manos.

Espero que os guste.

Si no recordáis bien como se multiplica por varias cifras aquí os este otro vídeo.

  Actividades de repaso:

• Suma y resta de números naturales.
• Propiedades de la suma.
• Cálculo mental-Suma y resta.
• Suma, resta y multiplicación I.
• Multiplicaciones con varias cifras.
• Problemas números naturales.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN.

La propiedad distributiva nos afirma que la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.

Vamos a verlo con el ejemplo: 2 x (3 + 5)

Según la propiedad distributiva 2 x (3 + 5) será igual a 2 x 3 + 2 x 5

Vamos a comprobar si esto es cierto.

2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16

2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16

En los dos casos nos da como resultado 16, por lo que podemos comprobar que la propiedad distributiva de la multiplicación es totalmente cierta.

Por lo tanto cuando se multiplica un número por una suma (resta) se puede:

• Resolver primero la suma (resta) y el resultado multiplicarlo por el número .
• O multiplicar el número por cada uno de los elementos de la suma (resta) y luego sumar (restar) los resultados.

Ejemplos: (4 + 7) x 3

(4 + 7) x 3= (11) x 3 = 33

(4 + 7) x 3= (4 x 3) + (7 x 3) = 12 + 21 = 33

Ejemplos: (5 - 3) x 2

(5 - 3) x 2= (2) x 2 = 4

(5 - 3) x 2= (5 x 2) - (3 x 2) = 10 - 6 = 4

   Actividades de repaso:

• Propiedad distributiva I,
• Propiedad distributiva II.
• Propiedad distributiva III.

OPERACIONES COMBINADAS

  Para realizar operaciones combinadas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones hay que seguir un orden ya que  estas operaciones no se pueden realizar de manera aleatoria:

• Paso 1: Realizamos las operaciones que estén dentro de los paréntesis.

Por ejemplo:  3 x ( 2 + 4 )

Primero hacemos la operación de dentro del paréntesis: 2 + 4 = 6

Después realizamos la operación: 3 x 6 = 18

• Paso 2: Hacemos las multiplicaciones y divisiones, siempre de izquierda a derecha.

Por ejemplo:  24 : 6 x 2

Primero realizamos la división porque está mas a la izquierda que la división: 24 : 6 = 4

Después hacemos la multiplicación: 4 x 2 = 8

• Paso 3: Por último, hacemos las sumas y restas. Si hay varias sumas y restas empezamos a realizarlas de izquierda a derecha.

Por ejemplo:  2 + 3 x 5

Primero hacemos la multiplicación: 3 x 5 = 15

Después hacemos la suma: 2 + 15 = 17

Vamos a ver un ejemplo de operaciones combinadas: 6 + ( 8 – 3) x 2

Primero hacemos el paréntesis: 8 – 3 = 5

De esta manera, nos queda: 6 + 5 x 2

Ahora hacemos la multiplicación: 5 x 2 = 10

Y por último nos queda la operación  de sumar: 6 + 10 = 16

Vamos a ver otro ejemplo de operaciones combinadas:  21 : 3 + 7 x 4

Lo primero es hacer los paréntesis, pero en este caso no hay.

Lo siguiente en hacer las multiplicaciones y divisiones:  21 : 3 = 7 y por otro lado 7 x 4 = 28

Ahora nos queda solo la suma: 7 + 28 = 35

  Actividades de repaso:

• Operaciones combinadas I.
• Operaciones combinadas II.

ESTIMACIONES

• El redondear números hace que sea más fácil trabajar con ellos mentalmente.
• Los números redondeados son solo aproximados.
• Generalmente no se puede obtener una respuesta exacta utilizando números redondeados.
• Utiliza el redondeo para obtener una respuesta aproximada pero que no necesite ser exacta.

Como redondear números
• Redondea los números que terminan entre 1 y 4 al número menor anterior terminado en cero. Por ejemplo 74 redondeado a la decena más próxima sería 70.
• Los números que terminan en un dígito de 5 o más deberán ser redondeados a la próxima decena. El número 88 redondeado a la próxima decena sería 90.

Estimar una suma por redondeo

Una forma rápida de estima la suma de dos números es redondear cada número y luego sumarlos. Esta no será la respuesta exacta pero si lo suficientemente cercana para algunos usos.
Como estimar una suma por redondeo.

• Redondea cada término que se va a sumar.
• Suma los números redondeados.

              Aproximación a las centenas                             Aproximación a las decenas.
                    687 + 139                                                             139 - 42                     
                    700 + 100 = 800                                                   140 - 40 = 100

                                                            

 Actividades de repaso:

1. Cálculo mental (Suma y producto). 
2. Cálculo mental (Resta y producto).

POTENCIAS

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).
Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene 2*2 = 4 abuelos.
Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene 2*2*2 = 8 bisabuelos.
Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2⁴ y lo llamaremos potencia.

2⁴ se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".

 La base es 2 y el exponente es 4.

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

• Cuando el exponente es 2 se lee elevado al cuadrado.
   
  • 5² – cinco elevado al cuadrado
• Cuando el exponente es 3 se lee elevado al cubo.
   
  • 7³ – siete elevado al cubo
• Con el resto de los exponentes se realiza la lectura del cardinal o del ordinal correspondiente.
   
  • 6⁴ – seis elevado a cuatro / seis elevado a la cuarta

 Actividades de repaso:

• Potencias.
• Repasar potencias.