PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Magnitudes proporcionales 

Dos magnitudes son proporcionales si las dos magnitudes aumentan o disminuyen en la misma proporción.

La misma variación que experimenta la primera cantidad se le aplica a la segunda.

Por ejemplo:   

   Si vas al cine  una entrada cuesta 9 euros, si compras más entradas te costará más dinero. 

          Luego si compramos 3 entradas nos costará 9 x 3 = 27 euros. 

        Porque multiplicamos al número de entradas y al dinero por el mismo número, en este caso es 3.

Por este motivo decimos que el número de entradas

 y el dinero que cuesta son magnitudes proporcionales.

Otro ejemplo:

Si una camisa cuesta 20 euros ¿Cuento cuestan 6 camisas? 

El número de camisas se ha multiplicado por 6, luego el precio también habrá que multiplicarlo por 6:
20 x 6 = 120
Las 6 camisas cuestan 120 euros.

Actividades de repaso

1. Proporcionalidad y porcentajes I.
2. Proporcionalidad y porcentajes II.
3. Proporcionalidad directa.
4. Situaciones de proporcionalidad.

El porcentaje o tanto por ciento

En matemáticas, el porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades» 

El porcentaje se denota utilizando el símbolo %.

El porcentaje de una cantidad

Actividades de repaso

1. Porcentaje I.
2. Porcentajes II.
3. Cálculo de porcentajes.
4. Cálculo y aplicación de porcentajes.

• Descuentos y aumentos de una cantidad

  Para realizar descuentos se puede calcular primero la cantidad a descontar y luego restar esta cantidad al valor inicial.  

  

Es decir, primero calculamos el porcentaje de la cantidad y luego se lo restamos al valor que teníamos inicialmente. 

Para realizar aumentos se puede calcular primero la cantidad a aumentar y luego sumar esta cantidad al valor inicial.

 Es decir, primero calculamos el porcentaje de la cantidad y luego se lo sumamos al valor que teníamos inicialmente.

 Actividades de repaso

1. Tienda de juguetes.
2. Las rebajas.
3. El presupuesto del ferretero.

Planos y mapas

• Los planos y los mapas.

Los planos son representaciones a tamaño reducido de la realidad que indican los lugares más destacados, como el ayuntamiento, la iglesia, el colegio, etcétera.

Mientras que los mapas son representaciones gráficas, a tamaño reducido de grandes superficies, como una provincia, un país o un continente.

Por lo que las diferencias son las siguientes:

• Planos: para localizar casas, parques, calles. 
• Mapa: para localizar países, ciudades, montañas o ríos. 

• Escala numérica y escala gráfica:

  Actividades de repaso:

1. A Escala.
2. Escalas.
3. Construcción de planos.
4. Utilización de planos.
5. Escalas: Planos y Mapas.

• Importancia de los mapas:

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

División por la unidad seguida de ceros

ACTIVIDADES DE REPASO

1. Actividad 1.

División de un decimal entre un natural

 Para dividir un número decimal entre uno natural se realiza la división como siempre,pero cuando llega la el momento de bajar el número que viene después de la coma ponemos una coma en el cociente.

     EJEMPLO:

         2,6     I_2___ -->   2,6  I_2___     -->   2,6  I_2___    

        0       1                  0 6   1,3                  0 6   1,3 

                                                                       0

ACTIVIDADES DE REPASO:

• División de un número decimal entre un natural.

División de un natural entre un decimal

     Para dividir un número natural por un número decimal eliminas la coma del divisor y escribes a la derecha del dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor y haces la división como si fueran números enteros y positivos. 

      Ejemplo:

12 : 2,6 

(12 x 10) : (2,6 x 10)

120     :       26 

    4,61

ACTIVIDADES DE REPASO:

• División de un natural entre un decimal I.
• División de un natural entre un decimal II.

División de un decimal entre un decimal

Para dividir un número decimal entre  un número decimal, se multiplican ambos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y después se hace la división obtenida. 

Lo importante es saber que el dividendo de la división obtenida puede ser un número natural o decimal, pero el divisor siempre es un número natural.

ACTIVIDADES DE REPASO:

• División de un número decimal entre un decimal.
• División con números decimales I.
• División con números decimales II.
• El tesoro de la gruta.

Aproximación de cocientes con cifras decimales

En una división entera, se puede aproximar el cociente con tantas cifras decimales como se desee, escribiendo el dividendo con ese mismo número de cifras decimales.

ACTIVIDADES DE REPASO:

• Aproximación de cocientes con cifras decimales.

Expresión decimal de una fracción

Toda fracción tiene una expresión decimal que se obtiene dividiendo su numerador entre su denominador.

NÚMEROS DECIMALES. OPERACIONES.

Suma y resta de números decimales.

Para sumar o restar números decimales:

1Se colocan en columnas haciendo corresponder las comas.

2Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas...

Ejemplos:

1 342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37=

2 372.528 − 69.68452=

       
  

Actividades de repaso: 

• Suma de números decimales. 
• Resta de números decimales.
• Suma y resta de números decimales I.
• Suma y resta de números decimales II.
• Suma y resta de números decimales III.

Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si faltan lugares, se añaden ceros.
Ejemplos:
5,4 x 10 = 54
32,58 x 100= 3.258
12,9 x 1.000= 12.900
59,89 x 100= 5.989
125,8 x 100= 12.580
569,5 x 1.000 = 569.500

ACTIVIDADES DE REPASO:

• Multiplicación por la unidad seguida de ceros I.
• Multiplicación por la unidad seguida de ceros II.
• División por la unidad seguida de ceros I.
• División de la unidad seguida de ceros II.

Multiplicación de números decimales

En una multiplicación puede haber decimales en cualquiera de los dos factores, o en los dos:

a) En primer lugar multiplicamos sin tener en cuenta que hay decimales.

b) A continuación contamos los números decimales que hay en ambos factores y serán las cifras decimales que lleve el resultado.

ACTIVIDADES DE REPASO:

• Multiplicación de un número decimal por uno natural.
• Multiplicación de números decimales I.
• Multiplicación de números decimales II. 
• Multiplicación de números decimales III.

Aproximaciones y estimaciones

Los números decimales los podemos redondear a la unidad, a la décima o a la centésima.

a) Redondear a la unidad

Redondear a la unidad implica sustituirlo por el número que más se le aproxime sin decimales.

Para aproximar a las unidades, miramos la cifra de las décimas.

 -Si es mayor o igual que 5, aumenta la cifra de las unidades. 

 -Si es menor que 5, dejamos igual la cifra de la unidades.

Veamos algunos ejemplos:

43,5

Este número se sitúa entre 43 y 44. Hay que ver a cual de ellos se redondea.
La cifra de las décimas es 5. Al ser la cifra igual o mayor a 5 redondeamos a la unidad inferior.
Por lo tanto 43,5 lo redondeamos a 44.

27,31

Este número se sitúa entre 27 y 28.
La cifra de las décimas es 3 . Al  ser la cifra inferior a 5 redondeamos a la unidad inferior.
Por lo tanto 27,31 lo redondeamos a 27.

58,721

Este número se sitúa entre 58 y 59.
La cifra de las décimas es 7 . Al  ser la cifra superior a 5 redondeamos a la unidad superior.
Por lo tanto 58,721 lo redondeamos a 59.

b) Redondear a la décima.

Redondear un número a la décima implica sustituirlo por el número que más se le aproxime y que en la parte decimal tan sólo tenga décimas.

Para aproximar a las décimas, miramos la cifra de las centésimas. 

- Si es mayor o igual que 5, aumenta la cifra de las décimas. 

- Si es menor que 5, dejamos igual la cifra de la décimas.

Veamos algunos ejemplos:

22,53

Este número se sitúa entre 22,5 y 22,6.
La cifra de las centésimas es 3. Al  ser la cifra inferior a 5 redondeamos a la décima inferior.
Por lo tanto 22,53 lo redondeamos a 22,5.

62,27

Este número se sitúa entre 62,2 y 62,3.
La cifra de las centésimas es 7. Al  ser la cifra superior a 5 redondeamos a la décima superior.
Por lo tanto 62,27 lo redondeamos a 62,3.

84,662

Este número se sitúa entre 84,6 y 84,7.
La cifra de las centésimas es 6. Al  ser la cifra superior a 5 redondeamos a la décima superior.
Por lo tanto 84,662 lo redondeamos a 84,7.

c) Redondear a la centésima.

Redondear un número a la centésima implica sustituirlo por el número que más se le aproxime y que en la parte decimal tenga hasta centésimas.

Para aproximar a las centésimas, miramos la cifra de las milésimas. 

 - Si es mayor o igual que 5, aumenta la cifra de las décimas. 

- Si es menor que 5, dejamos igual la cifra de la décimas.

Veamos algunos ejemplos:

17,124

Este número se sitúa entre 17,12 y 17,13.
La cifra de las milésimas es 4. Al ser la cifra inferior a 5 redondeamos a la centésima inferior.
Por lo tanto 17,124 lo redondeamos a 17,12.

26,33

Este número se sitúa entre 26,33 y 26,34.
La cifra de las milésimas es 0. Al  ser la cifra inferior a 5 redondeamos a la centésima inferior.
Por lo tanto 26,33 lo redondeamos a 26,33.

77,258

Este número se sitúa entre 77,25 y 77,26.
La cifra de las milésimas es 8. Al  ser la cifra superior a 5 redondeamos a la centésima superior.
Por lo tanto 77,258 lo redondeamos a 77,26.

Actividades de repaso:  

• Aproximación de números decimales I.
• Aproximación de números decimales II.
• Aproximación de números decimales III.

FRACCIONES. OPERACIONES

La fracción y sus términos. Representación

La fracción se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales.

Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente fracción:

Los términos de la fracción se denominan: numerador y denominador.

¿Cómo se leen las fracciones? Se leen en función de cuál es su denominador:

1 / 2: un medio
1 / 3: un tercio
1 / 4: un cuarto
1 / 5: un quinto
1 / 6: un sexto
1 / 7: un séptimo
1 / 8: un octavo
1 / 9: un noveno
1 / 10: un décimo
1 / 11: un onceavo
1 / 12: un doceavo
1 / 13: un treceavo

Veamos algunos ejemplos:

Actividades de repaso:

1. Representación de fracciones I.
2. Representación de fracciones II.

Reducción de fracciones a común denominador

Para reducir fracciones a un común denominador tenemos dos métodos: 

Método de los productos cruzados de los numeradores.

Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos

cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por los

denominadores de las demás.

Método del mínimo común múltiplo.

 Reducir fracciones a común denominador es encontrar otras fracciones equivalentes a las originales, de forma que tengan todas igual denominador.

 ¿Cómo se hace? Seguimos estos pasos:

 1) Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

 2) Como denominador de las nuevas fracciones ponemos el mcm calculado antes.

 3) Como numerador de cada nueva fracción, ponemos el resultado de dividir el mcm entre el denominador y multiplicar por el numerador.

Ejemplo: Reducir a común denominador las fracciones

 1) 

 2) 

 3) 

El resultado sería:

Actividades de repaso:

1. Productos cruzados.
2. Método del m.c.m. I
3. Método del m.c.m. II
4. Método del m.c.m. III

Comparación de fracciones

Hay tres casos:

• fracciones que tienen el mismo denominador;
• fracciones que tienen el mismo numerador;
• fracciones que tienen distinto numerador y denominador.

Primer caso: dos o más fracciones que tienen igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador. Ejemplo:

3	7
----	<    ----
4	4

La mayor es 7/4.

Segundo caso: dos o más fracciones que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.

5	5
----	<    ----
4	2

La mayor es 5/2.

Tercer caso: dos o más fracciones con distinto numerador y denominador hay que reducir fracciones a común denominador  y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. 

Truco: si te cuesta comprender una fracción, recuerda que el denominador son los caramelos que se reparten y el numerador lo que se cogen. 

Por ejemplo si te dicen que que es mayor si 3/12 ó 1/6. Piensa que te conviene si coger 3 caramelos de 12 ó 1 caramelo de 6... y verás como intuitivamente te aclaras...

Número mixto

Llamamos número mixto al que tiene una parte entera y otra fraccionaria (una fracción propia –numerador más pequeño que el denominador), por ejemplo:

Actividades de repaso:

1. Fracciones.
2. Comparar fracciones.
3. Ordenar fracciones.
4. Orden entre fracciones.

Adición y sustracción de fracciones

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los

numeradores y se deja el mismo denominador.

Veamos un ejemplo:

SUMA Y  RESTA DE  FRACCIONES CON  DISTINTO DENOMINADOR

Pincha sobre la imagen y verás un vídeo explicativo.

Actividades de repaso:

1. Suma de fracciones.
2. Resta de fracciones.
3. Suma y resta con igual denominador.
4. Suma con distinto denominador.
5. Resta con distinto denominador.

Multiplicación de fracciones

• Multiplicación de un entero por una fracción:

         Al multiplicar un número por una fracción estamos calculando la fracción de esa cantidad.

3 / 8   de  320 

Se multiplica el numerador por el número y el denominador se deja el mismo.

          3 x 320 = 960        

            960 / 8 = 120
               

       

        Por ejemplo: 

       

        En una clase de 30 niños, 2 / 3 nunca juegan al fútbol ¿cuántos son?

(2 / 3) x 30 = (2 x 30) / 3 = 60 

60/ 3 = 60 : 3 = 20 niños

División de fracciones

Actividades de repaso:

1. Multiplicación de fracciones I.
2. Multiplicación de fracciones II.
3. División de fracciones I.
4. División de fracciones II.
5. Operaciones con fracciones.
6. Problemas fracciones I.
7. Problemas fracciones II.